Probabilidad

DIAGRAMA DE ARBOL

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades; consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. 

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

El diagrama de árbol va de lo general a lo especifico, es decir, parte de un problema general (el “tronco”) y continua con niveles subsecuentes o causas (las “ramas”).

Los diagramas en árbol son muy útiles para "fabricar" cualquier tipo de agrupación, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.

Bibliografía:https://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/09/diagrama-de-arbol_24.html

Integrales

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x)son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

• Se representa por ∫ f(x) dx.
• Se lee : integral de f de x diferencial de x.
• ∫ es el signo de integración
• f(x) es el integrando o función a integrar.
• dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
• C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

• ∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Ejemplo:

Bibliografía:

https://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html

Teorema de Bolzano

ENUNCIADO:

Dada una función f(x) continua en un intervalo [a,b], de tal forma que toma valores opuestos en sus extremos, es decir, f(a)0) y f(b)>0 (análogamente f(b)<0), entonces, podemos afirma que existe un valor c dentro del intervalo abierto (a, b) tal que la función corta el eje de abscisas en ese punto: f(c)=0.
Observación: Que tengan signos opuestos en los extremos también equivale a decir que el producto de ambos tiene que ser negativo: f(a)f(b)<0




INTERPRETACIÓN GRÁFICA
Si analizamos gráficamente el enunciado del Teorema de Bolzano, podemos decir, que para toda función continua en un intervalo [a,b], tal que f(a)f(b)<0 entonces existe al menos una raíz para esa función dentro de ese intervalo: c.











Bibliografía:
https://matematica.laguia2000.com/general/teorema-de-bolzano

Vectores fijos en el espacio

Un vector fijo del espacio queda determinado por un par de puntos del espacio dados en un orden. El primer punto se denomina origen del vector, y el segundo, extremo del vector.
Los vectores se representan geométricamente mediante una flecha que va del origen al extremo.
El vector nulo es el vector en el que coincide el extremo con el origen.

Elementos de un vector fijo del espacio:

Los vectores fijos del espacio tienen tres elementos: módulos, dirección y sentido.

• Módulo del vector AB: es la distancia que separa a su extremo de su origen. Su valor es, por tanto, un número real positivo o nulo. Se representa por |AB|.
• Dirección del vector AB: una dirección en el espacio queda determinada por una recta y por todas sus rectas paralelas. La dirección del vector AB es la de la recta que contiene a su extremo y a su origen y la de todas sus paralelas.
• Sentido del vector AB: en cada dirección, se pueden considerar dos sentidos. El sentido de un vector AB es el que va desde su origen A hasta su extremo B.   

Producto mixto

Una nueva operación entre vectores, con la diferencia de que ahora manejamos tres, es la que llamamos producto mixto. El nombre se debe a que ponemos en juego a la vez, el producto escalar y vectorial de vectores.

El producto mixto de tres vectores, que expresaremos , se define como el producto escalar del primero por el resultado del producto vectorial de los otros dos. El resultado, por tanto, será un número o escalar.

En realidad, y puesto que nuestros vectores están referidos a la base canónica, esta operación conjunta equivale a calcular el determinante de la matriz que forman los tres vectores:

Interpretación geométrica: El valor absoluto del producto mixto de tres vectores nos da el volumen del paralelepípedo que genera las aristas de esos tres vectores. Además, puesto que el tetraedro que tiene de aristas esos tres vectores es la sexta parte del paralelepípedo, el volumen del tetraedro será el producto mixto entre seis:

Bibliografía:

http://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/geometria_metrica/4_producto_mixto.html

Matemáticas aplicadas

Las matemáticas como ciencia, tienen diversas ramas o áreas entre las que se mencionan el álgebra, la geometría, la probabilidad, la estadística y la aritmética, pero todas estas ramas se desprenden de dos grandes grupos: las matemáticas aplicadas y las matemáticas académicas.

Las matemáticas aplicadas son aquellas que tienen implicaciones directas con el análisis y la resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias, como el cálculo, el álgebra lineal y las ecuaciones diferenciales, entre otras.

Aquí iremos subiendo los diferentes aspectos que tratan las matemáticas aplicadas en el curso de 2º de Bachillerato, empezando por las matrices:

Las matrices son la ordenación de elementos en filas y columnas:

El elemento de una matriz es cada uno de los números de que consta la matriz, un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

La dimensión de una matriz, puede ser : 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas).

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Clasificación de las matrices:

1. Rectangulares

1. Cuadradas:

-Triangulares

-Diagonal

-Escalar

-Unidad

-Nula

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

Matriz simétrica : aquella que coincide con su A∗t (traspuesta)

Matriz asimétrica: aquella que coincide con la opuesta de su traspuesta

Bibliografías:

https://diferencias.eu/entre-matematicas-aplicadas-y-academicas

https://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html

https://www.ditutor.com/matrices/matriz_traspuesta.html